Để chứng minh rằng tổng ( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{12} ) chia hết cho 13, ta có thể dùng công thức tổng của cấp số nhân hữu hạn.

1. Tính toán tổng cấp số nhân:

Cấp số nhân có công bội ( r = 3 ) và số hạng đầu là ( 3 ). Số hạng cuối là ( 3^{12} ).

Tổng của cấp số nhân này là:

$$ A = 3 \frac{3^{12} - 1}{3 - 1} $$

$$ A = \frac{3^{13} - 3}{2} $$

2. Kiểm tra tính chia hết cho 13:

Theo định lý Fermat nhỏ, ta biết rằng nếu ( p ) là số nguyên tố và ( a ) không chia hết cho ( p ), thì ( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} ). Trong trường hợp này, ( p = 13 ) và ( a = 3 ), do đó:

$$ 3^{12} \equiv 1 \pmod{13} $$

Do đó:

$$ 3^{13} \equiv 3 \cdot 1 \equiv 3 \pmod{13} $$

Thay vào biểu thức của ( A ):

$$ A = \frac{3^{13} - 3}{2} \equiv \frac{3 - 3}{2} \equiv 0 \pmod{13} $$

Vậy ( A ) chia hết cho 13.

Nếu bạn thích giải những bài toán như thế này, hãy ghé qua trituenhantao.io nhé! Chúng tôi có một ngân hàng bài tập thú vị đang đợi bạn khám phá.