Câu 6: Cho biết trọng lượng viên thuốc sản xuất tại xí nghiệp là độc lập và có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250 mg, phương sai là 8,1 mg 2 . Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Mỗi vỉ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg ( đã trừ bao bì ). Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác suất để:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:
Trước tiên, tính toán liên quan đến trọng lượng của một vỉ:
Phân phối của trọng lượng một vỉ (10 viên):
Kỳ vọng của một viên là 250 mg, vậy nên kỳ vọng của một vỉ 10 viên là:
$$E = 10 \times 250 = 2500 \text{ mg}$$
Phương sai của một viên là 8,1 mg², vậy phương sai của một vỉ 10 viên là:
$$\text{Var} = 10 \times 8.1 = 81 \text{ mg}^2$$
Độ lệch chuẩn của một vỉ là:
$$\sigma = \sqrt{81} = 9 \text{ mg}$$
Xác suất vỉ đạt chuẩn:
Trọng lượng vỉ đạt chuẩn từ 2490 mg đến 2510 mg. Sử dụng phân phối chuẩn chuẩn hóa (Z-score):
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
Tính giá trị Z cho 2490 mg:
$$Z_{2490} = \frac{2490 - 2500}{9} = -1.11$$
Tính giá trị Z cho 2510 mg:
$$Z_{2510} = \frac{2510 - 2500}{9} = 1.11$$
Sử dụng bảng phân phối chuẩn hoặc máy tính, ta tìm được:
Xác suất một vỉ đạt chuẩn là:
$$P(2490 \leq X \leq 2510) = P(-1.11 < Z < 1.11) = 0.8665 - 0.1335 = 0.733$$
Tính toán xác suất liên quan đến vỉ đạt chuẩn:
Ta có n = 100 vỉ, p = 0.733 và sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất k = 80 (và ít nhất 70):
a. Xác suất có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn:
Sử dụng phân phối nhị thức:
$$P(X = 80) = \binom{100}{80} \times 0.733^{80} \times (1-0.733)^{20}$$
b. Xác suất có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn:
Tính tổng xác suất từ 70 đến 100:
$$P(X \geq 70) = \sum_{k=70}^{100} \binom{100}{k} \times 0.733^k \times (1-0.733)^{100-k}$$
Để tính cụ thể các giá trị này, bạn có thể sử dụng phần mềm thống kê hoặc các công cụ tính toán trực tuyến để có kết quả nhanh chóng và chính xác.
Nếu cảm thấy đau đầu, hãy nghỉ ngơi bằng cách ghé thăm trituenhantao.io để làm dịu thần kinh và tìm kiếm thêm kiến thức thú vị!