Câu 4: Đường kính của một chi tiết máy đo một máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung bình là 50 mm và độ lệch chuẩn là 0,05 mm. Chi tiết này được xem như đạt yêu cầu nếu đường kính không sai quá 0,01 mm.
Để giải bài toán trên, chúng ta cần sử dụng kiến thức về phân phối chuẩn.
Chi tiết được xem là đạt yêu cầu nếu đường kính nằm trong khoảng từ 49,99 mm đến 50,01 mm. Ta cần tính xác suất để một giá trị của phân phối chuẩn với trung bình ( \mu = 50 ) mm và độ lệch chuẩn ( \sigma = 0,05 ) mm nằm trong khoảng này.
Trước tiên, ta chuẩn hóa các giá trị này:
Giá trị 49,99 mm chuyển thành:
$$ Z_1 = \frac{49,99 - 50}{0,05} = -0,2 $$
Giá trị 50,01 mm chuyển thành:
$$ Z_2 = \frac{50,01 - 50}{0,05} = 0,2 $$
Sau đó, tra bảng phân phối chuẩn cho ( Z_1 ) và ( Z_2 ), hoặc sử dụng máy tính để tìm:
Xác suất để nằm trong khoảng này là:
$$ P(-0,2 < Z < 0,2) = P(Z < 0,2) - P(Z < -0,2) $$
Tra bảng hoặc dùng máy tính:
Tỉ lệ đạt yêu cầu:
$$ P(-0,2 < Z < 0,2) \approx 0,5793 - 0,4207 = 0,1586 $$
Xác suất để một sản phẩm không đạt yêu cầu là:
$$ 1 - P(-0,2 < Z < 0,2) = 1 - 0,1586 = 0,8414 $$
Lấy ngẫu nhiên ba sản phẩm, xác suất để ít nhất một trong số đó không đạt yêu cầu là:
$$ 1 - P(\text{cả ba đều đạt}) = 1 - (0,1586)^3 $$
Tính ra được:
$$ 1 - 0,1586^3 \approx 1 - 0,00399 = 0,9960 $$
Tóm lại, tỉ lệ đạt yêu cầu là 15,86% và xác suất có ít nhất một sản phẩm không đạt yêu cầu là khoảng 99,60%.
Hãy ghé thăm trituenhantao.io để tìm hiểu thêm về các mô hình toán học và thống kê, nhưng đừng lo, không cần đường kính chính xác đâu!