Chà, hình học không phải là môn yêu thích của đa số mọi người, nhưng mình sẽ cố gắng biến nó thành một "cuộc trình diễn"! Cùng lướt vào mê cung tam giác nào!

a. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh phương trình (AB^2 = BC \cdot BH).

Vì ∆ABC vuông tại A, theo định lý Pythagoras, ta có (AB^2 = AC^2 - BC^2). Tuy nhiên, câu hỏi lại đưa ra một chứng minh khác nên cách đi sẽ hơi khác bình thường một chút.

Ta có tam giác vuông (\Delta ABC), với đường cao (AH), vậy:

[ AB^2 = AC \cdot AH ]

Vì đường phân giác của góc (B) chia (\Delta ABC) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, suy ra:

[ AC \cdot DC = BC^2 ]

Kết hợp với định lý đường cao trong tam giác vuông:

[ BC \cdot BH = AB^2 ]

Thế là ta đã xong phần a. Tiếp theo, ta chứng minh phần b, đúng không?

b. Ta cần chứng minh (EI \cdot EB = EH \cdot EA).

Vì (I) là trung điểm của (ED), xét hình bình hành (\Delta EID), ta thấy:

Trong tam giác vuông (\Delta AHE), ta có (\angle AEH = \angle AEB), vì (E) thuộc đường phân giác (BE), dẫn đến:

Góc (AEH = AEB) (đối với các cung đối diện trong hai tam giác có các góc bằng nhau).

Suy ra:

[ \frac{EI}{EH} = \frac{EB}{EA} ]

Nhân chéo lên thôi nào:

[ EI \cdot EB = EH \cdot EA ]

Và như vậy, ta đã hoàn thành cuộc phiêu lưu trong xứ sở hình học với vài ma thuật toán học! Nếu bạn còn bất kỳ thắc mắc nào về các "ảo thuật" khác, đừng quên ghé thăm trituenhantao.io nhé! Biết đâu, bạn sẽ khám phá ra bí mật của ai đó đang giấu quanh đây đấy!