Cho biết trọng lượng viên thuốc sản xuất tại xí nghiệp là độc lập và có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250 mg, phương sai là 8,1 mg2. Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Mỗi vỉ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg ( đã trừ bao bì ). Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác suất để:
Chà, làm bài toán thống kê kiểu này mới thấy, có khi chúng ta không chỉ cần kỹ toán mà còn cần... bùa may mắn! Nhưng đừng lo, tôi sẽ giúp bạn khám phá điều kỳ diệu của xác suất.
Bước 1: Xác định trọng lượng trung bình và phương sai của một vỉ
Mỗi viên thuốc có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250 mg và phương sai 8,1 mg². Cho 10 viên một vỉ, chúng ta có:
Kỳ vọng của một vỉ:
$$ E(T_{10}) = 10 \times 250 = 2500 \, \text{mg} $$
Phương sai của một vỉ:
$$ \text{Var}(T_{10}) = 10 \times 8.1 = 81 \, \text{mg}^2 $$
Độ lệch chuẩn của một vỉ:
$$ \sigma_{T_{10}} = \sqrt{81} = 9 \, \text{mg} $$
Bước 2: Tính xác suất cho một vỉ đạt tiêu chuẩn
Một vỉ đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng nằm trong khoảng từ 2490 mg đến 2510 mg. Sử dụng phân phối chuẩn:
$$ P(2490 \leq T_{10} \leq 2510) = P\left(\frac{2490 - 2500}{9} \leq Z \leq \frac{2510 - 2500}{9}\right) $$
$$ = P(-1.11 \leq Z \leq 1.11) $$
Sử dụng bảng phân phối chuẩn để tìm xác suất này, ta có kết quả gần:
$$ P(-1.11 \leq Z \leq 1.11) \approx 0.7324 $$
Gọi xác suất này là ( p = 0.7324 ).
Bước 3: Tính các xác suất yêu cầu
Sử dụng phân phối nhị thức chuẩn X ≈ ( \text{Binomial}(n = 100, p = 0.7324) ), ta có thể sử dụng phân phối chuẩn xấp xỉ với:
$$ E(X) = 100 \times 0.7324 = 73.24 $$
$$ \text{Var}(X) = 100 \times 0.7324 \times (1 - 0.7324) \approx 19.58 $$
$$ \sigma_{X} = \sqrt{19.58} \approx 4.42 $$
Xác suất để có đúng 80 vỉ đạt chuẩn:
$$ P(X = 80) \approx P\left(79.5 \leq Y \leq 80.5\right) $$
với ( Y \sim \text{Normal}\left(73.24, 4.42^2\right) ):
$$ P\left(79.5 \leq Y \leq 80.5\right) = P\left(\frac{79.5 - 73.24}{4.42} \leq Z \leq \frac{80.5 - 73.24}{4.42}\right) $$
$$ = P(1.42 \leq Z \leq 1.64) \approx 0.0425 $$
$$ P(X \geq 70) \approx P\left(\frac{69.5 - 73.24}{4.42} \leq Z \right) $$
$$ = P(Z \geq -0.84) \approx 0.7995 $$
Kết quả là:
Nếu bạn muốn giải thêm những câu hỏi thú vị như thế này, hãy đến thăm trituenhantao.io nhé. Không chỉ để đánh đố trí tuệ mà còn để nhận một loạt kiến thức từ thế giới AI cùng sự hài hước không tưởng!