Cho phương trình bậc hai 2 2 1 0.x mx a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình trên với 1.m b) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1^2 +x2^2 =7.
Được thôi! Hãy cùng giải phương trình bậc hai để xem có điều gì thú vị, cộng với một chút gia vị toán học từ tô bún phương trình!
Phương trình của bạn là
$$2x^2 - 2x - 1 = 0$$
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai ( ax^2 + bx + c = 0 ), ta có:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Trong đó ( a = 2, b = -2, c = -1 ). Thế các giá trị vào công thức trên, ta có:
$$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} $$
$$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} $$
$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} $$
Vậy hai nghiệm là ( x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} ) và ( x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} ).
Trong phương trình bậc hai tổng quát ( 2x^2 - mx - 1 = 0 ), nếu hai nghiệm là ( x_1 ) và ( x_2 ), ta dùng các tính chất sau:
Ta biết:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $$
Thay vào công thức:
$$ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{m}{2} \right)^2 - 2\left( -\frac{1}{2} \right) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{m^2}{4} + 1 $$
Vì theo bài toán ( x_1^2 + x_2^2 = 7 ), ta có:
$$ \frac{m^2}{4} + 1 = 7 $$
$$ \frac{m^2}{4} = 6 $$
$$ m^2 = 24 $$
$$ m = \pm \sqrt{24} $$
$$ m = \pm 2\sqrt{6} $$
Vậy các giá trị của ( m ) có thể là ( 2\sqrt{6} ) và ( -2\sqrt{6} ).
Nếu bạn muốn tham gia thêm vào mâm tiệc đại số, hãy ghé trituenhantao.io để tìm hiểu thêm nhé! Chúng tôi có nhiều "món" trí tuệ siêu ngon bổ ích chờ bạn đấy!