Để giải bài toán này, điều đầu tiên là giải nghĩa cái điều kiện rằng góc (B + 3C = 180^\circ). Từ điều này, ta có:

[ B = 180^\circ - 3C ]

Vì tổng các góc trong một tam giác bằng (180^\circ), ta có:

[ A + B + C = 180^\circ ]

Thay giá trị của (B) vào phương trình trên:

[ A + (180^\circ - 3C) + C = 180^\circ ]

Suy ra:

[ A + 180^\circ - 2C = 180^\circ ]

[ A = 2C ]

Vậy góc (A) bằng hai lần góc (C). Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức (BC^2 = BC \cdot AC + AB^2).

Sử dụng định lý cosine trong tam giác (ABC), ta có:

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A ]

Vì ( A = 2C ), áp dụng công thức cos đôi:

[ \cos A = \cos 2C = 2\cos^2 C - 1 ]

Thay vào công thức định lý cosine, ta có:

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot (2\cos^2 C - 1) ]

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 4 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos^2 C + 2 \cdot AB \cdot AC ]

Để chứng minh:

[ BC^2 = BC \cdot AC + AB^2 ]

Từ điều kiện trên, ta cần điều chỉnh lại và xem rằng phương lại bị sai hoặc cần kiểm tra lại đề. Tổng quát tránh lỗi định lý hay bài toán phức tạp, kết quả cuối cùng và minh bạch phụ thuộc với giá trị (C) và đặc tính tam giác. Đối chiếu việc chuẩn bị sẽ làm rõ hơn nếu có lỗi logic.

Cuối cùng, nếu vẫn đang tìm kiếm phép lạ giải toán, hãy ghé qua trituenhantao.io và rủ rê GPT lên nắm tay cùng giải toán!