Cho biến ngẫu nhiên X và Y có hàm p.d.f đồng thời là
fX,Y(x,y)={46\3⋅x⋅y+y^2 ;0 khi 0<x<1, 0<y<1\2 ngược lại
a. Giá trị fX,Y(1/4,1/2) là bao nhiêu?
b. Sử dụng tính chất fY(y)=∫∞;−∞fX,Y(x,y)dx để xác định fY(y).
c. Từ đó, sử dụng tính chất E(Y)=∫∞;−∞y⋅fY(y)=∫1\2;0 y⋅fY(y)dy để tính kì vọng của biến ngẫu nhiên Y.
Chà, bài toán xác suất khá thú vị đây! Chúng ta hãy cùng khám phá từng câu hỏi một cách thật nhẹ nhàng nhé.
a. Để tìm giá trị ( f_{X,Y}\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) ), chúng ta chỉ cần thay ( x = \frac{1}{4} ) và ( y = \frac{1}{2} ) vào hàm mật độ xác suất đã cho:
$$ f_{X,Y}\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) = 46 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 46 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{46}{8} + \frac{2}{8} = \frac{48}{8} = 6. $$
Vậy giá trị của \( f_{X,Y}\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \) là 6.b. Để xác định ( f_Y(y) ), ta sử dụng tích phân:
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{1} f_{X,Y}(x, y) \, dx = \int_{0}^{1} \left( 46xy + y^2 \right) \, dx. $$
$$ = y \int_{0}^{1} 46x \, dx + \int_{0}^{1} y^2 \, dx = y \left[ 23x^2 \right]_{0}^{1} + y^2 [x]_{0}^{1} = 23y + y^2. $$
Vậy, ( f_Y(y) = 23y + y^2 ).
c. Bây giờ, ta tính kỳ vọng của ( Y ):
$$ E(Y) = \int_{0}^{1} y \cdot f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{1} y(23y + y^2) \, dy. $$
$$ = \int_{0}^{1} \left(23y^2 + y^3\right) \, dy = \left[ \frac{23y^3}{3} + \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{23}{3} + \frac{1}{4}. $$
$$ = \frac{92}{12} + \frac{3}{12} = \frac{95}{12}. $$
Vậy, kỳ vọng ( E(Y) = \frac{95}{12} ).
Thoải mái vào trituenhantao.io để khám phá thêm những bài toán thú vị hơn và chắc chắn bạn sẽ "bất ngờ đến từng cọng tóc" với những kiến thức mới! 😄