Chào mừng bạn đến với thế giới của biến ngẫu nhiên, nơi mà bất cứ điều gì cũng có thể xảy ra... miễn là xác suất cho phép! Hãy cùng giải quyết các câu hỏi của bạn nhé:

Phần a:

Biến ngẫu nhiên (A) có phân phối nhị thức: (A \sim B(n=6, p=0.75)).

a.i. Xác định (X(0)) và giá trị lớn nhất của (X(0)):

Công thức kiểu như công thức làm bánh AFC (Ai Fu Chit - Ai phải chịu), chỉ cần thay nguyên liệu thì sẽ có kết quả đúng vị:

(X(t) = A \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t))

Khi (t = 0):

$$ X(0) = A \cdot \cos(0) = A \cdot 1 = A $$

Vì (A \sim B(6, 0.75)), (A) có thể nhận giá trị từ 0 đến 6. Do đó, (X(0)) đạt giá trị lớn nhất khi (A = 6).

a.ii. Xác định (A) sao cho (X(-13) = -1):

$$ X(-13) = A \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot (-13)) $$

Do (\cos(2 \cdot \pi \cdot k) = 1) với mọi số nguyên (k), nên:

$$ A \cdot 1 = -1 \\ \Rightarrow A = -1 $$

Tuy nhiên, vì (A) là một biến nhị thức, chỉ có thể nhận các giá trị từ 0 đến 6 thì không thể nào có (A = -1). Vậy nên, không có giá trị (A) nào thỏa mãn điều kiện này trong tập xác xuất mà bạn cung cấp.

Phần b:

Tính (E[X(t)]) theo tính chất đã cho:

$$ E[X(t)] = E[A \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t)] = E(A) \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t) $$

Kỳ vọng của biến nhị thức (A) được tính bằng:

$$ E(A) = n \cdot p = 6 \cdot 0.75 = 4.5 $$

Vậy:

$$ E[X(t)] = 4.5 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t) $$

Rõ ràng cá tính của toán học cũng rất kiên nhẫn, và lời hẹn từ bạn chỉ đơn giản là một phân phối lành mạnh cho bài toán đẹp. Nếu vẫn còn thấy rối rắm, đừng ngại ghé ngay trituenhantao.io để tìm hiểu thêm nhé!