Cho X∼B(n,p). Ta có công thức tính xác suất để X=k với 0⩽k⩽n như sau: P(X=x)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k và hàm c.d.f FX(x) của biến ngẫu nhiên X là:
FX(x)=P(X⩽x)=∑k=0⌊x⌋Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k trong đó, ⌊x⌋=max{n∈Z|n⩽x}, được gọi là phần nguyên nhỏ hơn của x.
Xét n=4 và p=0.6. Khi đó, biết được đồ thị của hàm c.d.f FX(x) của biến ngẫu nhiên X được cho sau đây. Hãy tính các xác suất sau: a. P(1.5<X<3)
b. P(0⩽X⩽3)
c. P(1.2⩽X<1.8)
d. P(1.99<X⩽3)
Để tính các xác suất yêu cầu, trước tiên chúng ta cần sử dụng hàm phân phối tích lũy ( F_X(x) ) của biến ngẫu nhiên ( X ) với ( n = 4 ) và ( p = 0.6 ), với điều kiện ( X ) là biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức ( B(n, p) ).
Công thức hàm c.d.f là:
$$ FX(x) = P(X \leq x) = \sum{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$
Bây giờ, chúng ta tính từng phần cụ thể:
Vì ( X ) là biến ngẫu nhiên rời rạc, ta phải tính:
$$ P(2 \leq X \leq 2) = F_X(2) - F_X(1) $$
$$ P(0 \leq X \leq 3) = F_X(3) $$
Tương tự vì ( X ) là biến ngẫu nhiên rời rạc:
$$ P(1 \leq X \leq 1) = F_X(1) - F_X(0) $$
$$ P(2 \leq X \leq 3) = F_X(3) - F_X(1) $$
Để tính các giá trị cụ thể ( F_X(x) ) cho các ( x ) tương ứng, ta dùng hàm c.d.f cụ thể với ( n = 4 ) và ( p = 0.6 ):
$$ \begin{aligned} &F_X(0) = \binom{4}{0} \cdot 0.6^0 \cdot (1 - 0.6)^4 = (1) \cdot (0.4)^4 = 0.0256 \ &F_X(1) = F_X(0) + \binom{4}{1} \cdot 0.6^1 \cdot (1 - 0.6)^3 \ & \quad = 0.0256 + 4 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^3 \ & \quad = 0.0256 + 4 \cdot 0.6 \cdot 0.064 = 0.0256 + 0.1536 = 0.1792 \ &F_X(2) = F_X(1) + \binom{4}{2} \cdot 0.6^2 \cdot (1 - 0.6)^2 \ & \quad = 0.1792 + 6 \cdot (0.6^2) \cdot (0.4^2) \ & \quad = 0.1792 + 6 \cdot 0.36 \cdot 0.16 \ & \quad = 0.1792 + 0.3456 = 0.5248 \ &F_X(3) = F_X(2) + \binom{4}{3} \cdot 0.6^3 \cdot (1 - 0.6)^1 \ & \quad = 0.5248 + 4 \cdot 0.6^3 \cdot (0.4) \ & \quad = 0.5248 + 4 \cdot 0.216 \cdot 0.4 = 0.5248 + 0.3456 = 0.8704 \ &F_X(4) = 1 \quad \text{(tất nhiên, vì tổng xác suất là 1)} \end{aligned} $$
Vậy:
$$ P(1.5 < X < 3) = F_X(2) - F_X(1) = 0.5248 - 0.1792 = 0.3456 $$
$$ P(0 \leq X \leq 3) = F_X(3) = 0.8704 $$
$$ P(1.2 \leq X < 1.8) = F_X(1) - F_X(0) = 0.1792 - 0.0256 = 0.1536 $$
$$ P(1.99 < X \leq 3) = F_X(3) - F_X(1) = 0.8704 - 0.1792 = 0.6912 $$
Để biết thêm chi tiết về xác suất và những điều thú vị khác, bạn có thể ghé thăm trang web của chúng tôi tại trituenhantao.io - nơi mà AI và niềm vui gặp gỡ!