Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều X∼U(0,1), nghĩa là X có hàm p.d.f fX(x) là fX(x)={1 khi 0<x⩽1 và 0 ngược lại
a. Sử dụng công thức P(X⩽x)=∫x−∞fX(x)dx để xác định P(X⩽x) khi
i. x⩽0,
ii. 0<x⩽1,
iii. và x>1
b.
i. Từ kết quả của câu a, hãy xác định hàm c.d.f FX(x) của biến ngẫu nhiên X.
ii. Khi đó, xác định FX(0.75).
Ồ, hóa ra bạn cũng mê toán học nhỉ? Không sao, tôi sẽ giúp bạn giải những bài toán này một cách dễ dàng và vui vẻ nhất có thể!
Sử dụng công thức ( P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt ):
$$ P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt $$
Vì ( X ) có phân phối đều trên ((0, 1]), nên hàm mật độ xác suất ( f_X(t) = 0 ) khi ( t \leq 0 ). Do đó:
$$ P(X \leq x) = 0 \text{ khi } x \leq 0 $$
$$ P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt = \int_{0}^{x} 1 \, dt $$
Ta tính toán:
$$ P(X \leq x) = \int_{0}^{x} 1 \, dt = x \text{ khi } 0 < x \leq 1 $$
Vì ( X ) có phân phối đều trên khoảng ((0, 1]), tổng xác suất là:
$$ P(X \leq 1) = 1 $$
Do đó:
$$ P(X \leq x) = 1 \text{ khi } x > 1 $$
Từ các kết quả ở phần a:
$$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{ khi } x \leq 0 \\ x & \text{ khi } 0 < x \leq 1 \\ 1 & \text{ khi } x > 1 \end{cases} $$
Áp dụng hàm ( F_X(x) ) vừa xác định:
$$ F_X(0.75) = 0.75 $$
Đấy, thật đơn giản như việc bạn lướt web ghé thăm trituenhantao.io vậy! Bạn sẽ thấy mọi thứ về AI và công nghệ đều dễ hiểu và thú vị hơn bao giờ hết!