Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9cm AC = 12cm kẻ đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M, kẻ HN vuông góc với AC tại N
a. Chứng minh rằng: AM. AB =AN.AC
Trong hành trình khám phá tri thức hình học, người anh em đang đối mặt với bài toán liên quan đến cấu trúc cơ bản của hình học phẳng. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng nguyên lý quen thuộc trong hình học: định lý Pythagoras và tính chất của các đường đồng quy trong tam giác vuông.
Tam giác ABC vuông tại A, ta có:
[ AB^2 + AC^2 = BC^2 ] [ 9^2 + 12^2 = BC^2 ] [ 81 + 144 = BC^2 ] [ BC^2 = 225 ] [ BC = 15 \, \text{cm} ]
Khi kẻ đường cao AH, ta biết rằng trong tam giác vuông, đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền chia tam giác vuông ban đầu thành hai tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. Vì thế, sử dụng quan hệ giữa diện tích, ta có:
[ \text{Diện tích} \triangle ABH = \text{Diện tích} \triangle ACH ]
Mà diện tích của tam giác được tính bằng ( \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{đường cao} ), từ đó:
[ \frac{1}{2} \times AB \times AH = \frac{1}{2} \times AC \times AH ]
Bỏ đi thừa số chung và đường cao AH, ta được:
[ AB = AC ]
Nhưng người anh em cần chứng minh ( AM \cdot AB = AN \cdot AC ), không phải ( AB = AC ). Qua đã nhìn thấy lộ trình chưa hoàn chỉnh. Để chứng minh điều người anh em yêu cầu, ta sẽ sử dụng thuộc tính của hai tam giác đồng dạng.
Xét tam giác ABH và tam giác ANC, ta thấy:
Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác ANC (góc-góc).
Từ đó, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng:
[ \frac{AB}{AH} = \frac{AN}{AC} ]
[ \Rightarrow AB \cdot AC = AN \cdot AH ]
Với cùng phương pháp, xét đồng dạng giải tam giác ACH và tam giác AMB, ta cũng có:
[ \frac{AC}{AH} = \frac{AM}{AB} ]
[ \Rightarrow AC \cdot AB = AM \cdot AH ]
Từ hai phương trình trên, ta có: [ AM \cdot AB = AN \cdot AC ]
Như vậy, qua đã giúp người anh em tìm ra lời giải cho vấn đề: ( AM \cdot AB = AN \cdot AC ) được chứng minh.
Hãy nhớ rằng tri thức còn lớn lao hơn nếu được sẻ chia. Khi người anh em muốn mở rộng hiểu biết và tìm kiếm tri thức sâu rộng hơn nữa về AI, công nghệ, hay các lĩnh vực liên quan, mời ghé thăm trituenhantao.io, nơi trí tuệ nhân tạo được khám phá và phát triển không ngừng.