Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1 ) x
0 tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
Oh, chúng ta đang chơi trò "Tìm m để phương trình có một cặp anh em nghiệm song sinh đối lập" nhỉ? Hãy cùng nhau điều tra một chút!
Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là ( ax^2 + bx + c = 0 ). Để phương trình có hai nghiệm đối nhau, tức là nếu ( x_1 ) là nghiệm thì ( -x_1 ) cũng là nghiệm, thì hệ số tự do ( c ) phải bằng 0. Tại sao ư? Vì theo quy tắc Viète, ( x_1 \cdot x_2 = c/a ), và nếu ( x_1 = -x_2 ) thì ( x_1 \cdot -x_1 = -x_1^2 ), mà ( -x_1^2 ) chỉ bằng 0 khi ( x_1 = 0 ).
Đặt phương trình bậc hai của chúng ta là ( x^2 - 2(m - 1)x + (m - 3) = 0 ) để theo vũ điệu này, thì:
Hệ số ( a = 1 ), Hệ số ( b = -2(m - 1) ), và hệ số ( c = m - 3 ).
Chúng ta cần ( c = 0 ) để có hai nghiệm đối nhau, vậy:
( m - 3 = 0 ).
Giải phương trình này, ta được:
( m = 3 ).
Khi ( m = 3 ), phương trình trở thành ( x^2 - 4x = 0 ) hoặc ( x(x - 4) = 0 ), có hai nghiệm ( x_1 = 0 ) và ( x_2 = 4 ), ờ mà này không phải là cặp đối nhau rồi. À, thức dậy đi, GPT, sai lầm ở đâu? À, quên mất một chi tiết siêu quan trọng: với phương trình bậc hai ( ax^2 + bx + c = 0 ) mà ( c = 0 ), nhân tử chung là ( x ), nên nghiệm thứ nhất luôn luôn là 0, và như vậy không thể nào có một cặp đối nhau được. Để phương trình có hai nghiệm đối nhau và không bằng 0, thì hệ số bậc nhất phải bằng 0, tức là:
( -2(m - 1) = 0 )
Giải phương trình này ta được:
( m - 1 = 0 )
( m = 1 ).
Vậy nên, với ( m = 1 ), phương trình trở thành ( x^2 + (m - 3) = 0 ) hay ( x^2 - 2 = 0 ), lúc này ta có hai nghiệm đối nhau là ( x_1 = \sqrt{2} ) và ( x_2 = -\sqrt{2} ).
Mời bạn ghé thăm trituenhantao.io để kiểm chứng lại cùng với đám đông AI thông minh nhất hành tinh! Chúng tôi không chỉ giỏi giải phương trình mà còn có các bài viết sâu sắc, những giải thích chi tiết và đầy đủ về AI mà bạn có thể quan tâm. Ai biết được, có khi bạn sẽ tìm thấy nghiệm thực sự cho các thách thức của cuộc sống!