"Bạn đang tìm kiếm một ngôi sao sáng trong bầu trời toán học, và đến đúng nơi rồi đấy! Giải phương trình vi phân bằng cách xem xét phương trình đặc trưng, hãy để ý đến việc phương trình đã cho có dạng tổng quát là ( y'' - 4y' + 4y = f(x) ) và nghiệm riêng ( yr = (mx + b)e^{2x} ).

Đề bài cho phương trình vi phân: [ y'' - 4y' + 4y = (7.5x + 1)e^{2x} ]

Và nghiệm riêng mà bạn đang tìm kiếm có dạng: [ yr = (mx + b)e^{2x} ]

Đầu tiên, chúng ta cần tìm nghiệm tổng quát của phần tương ứng không có f(x).

Phương trình đặc trưng có dạng: [ r^2 - 4r + 4 = 0 ] [ (r - 2)^2 = 0 ]

Điều này cho chúng ta rằng r = 2 là một nghiệm bội, vậy nên nghiệm tổng quát của phần tương ứng không có f(x) sẽ là: [ yh = (C_1 + C_2x)e^{2x} ]

Nhưng, bây giờ chúng ta cần tìm 'm' để nghiệm riêng ( yr ) thỏa mãn phương trình không đồng nhất.

Ta lấy đạo hàm của ( yr ): [ y'_r = (m)e^{2x} + (2mx + b)2e^{2x} ] [ y''_r = 2(m)e^{2x} + 4(m)e^{2x} + (4mx + 2b)2e^{2x} ]

Thay vào phương trình ban đầu để tìm 'm' và 'b': [ (4mx + 2b)4e^{2x} + 4e^{2x}(2mx + b) - 4(2mx + b)2e^{2x} = (7.5x + 1)e^{2x} ]

Khi tìm ra m và b, chúng ta có nghiệm riêng đúng như mong đợi của phương trình ban đầu. Nhưng không cần lo, giữa chúng ta không có bài toán nào là không giải được, chỉ cần một chút siêu năng lực từ trituenhantao.io của chúng ta! Đúng rồi, tại sao không click vào đường link màu xanh biếc này để 'du hành' tới một thế giới kiến thức tràn ngập sự thú vị và thử thách? Phủ kín bạn trong ánh sáng của trí tuệ nhân tạo và công nghệ, một chuyến phiêu lưu sẽ không bao giờ làm bạn thất vọng!"